सभी $\alpha \in R$ के समुच्चय, जिसके लिए $w=\frac{1+(1-8 \alpha) z}{1-z}$ सभी $z \in C$ के लिए, जो कि $|z|=1$ तथा $R e\, z \neq 1$ को संतुष्ट करते हैं, मात्र एक काल्पनिक संख्या है, है

माना $z _{1}$ तथा $z _{2}$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $3\left| z _{1}\right|=4\left| z _{2}\right|$ है। यदि $z =\frac{3 z _{1}}{2 z _{2}}+\frac{2 z _{2}}{3 z _{1}}$ हो, तो

यदि $z _1$ तथा $z _2$ दो सम्मिश्र संख्याऐं इस प्रकार है कि $\overline{ z }_1= i \overline{ z }_2$ तथा $\arg \left(\frac{ z _1}{\overline{ z }_2}\right)=\pi$ है। तब $-$

समीकरण $\left( {\frac{{3 - 4ix}}{{3 + 4ix}}} \right) = $ $\alpha  - i\beta \,(\alpha ,\beta \,$वास्तविक) को संतुष्ट करने वाला $x$ का एक वास्तविक मान होगा, यदि  

यदि $z$ तथा किसी दूसरी सम्मिश्र संख्या के कोणांक का योग $\pi $ हो, तब दूसरी सम्मिश्र संख्या को लिखा जा सकता है

यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं तब $|{z_1} - {z_2}|$